抽象思維是人類在認識客觀世界的過程中發展起來的一種重要思維形式。人們在進行抽象思維的時候，總是把自己思考的對象放進特定的運演系統中去，按照系統固有的方式推理，得出結論。推理所使用的法則是抽象思維的核心。由於一般抽象思維的法則並不需要經過嚴格的論证，除了推理的前提可能導致錯誤而外，推理法則本身的有效性同樣得不到保证，所以通過抽象思維得出的結論不見得正確。

　　我國古代，人們采用五行相生相剋和陰陽相反相成的法則判斷事物的性質，描述事物發展規律。這種法則是從個别事例中抽象出來的，在大量尋找與這種關係相符合的事例之後，便對這種推理法則深信不疑。事實上，這種通過不完全歸納法創造的推理法則，並不具有邏輯的必然性。由於曾發生過一些階級失敗了，一些階級勝利了的歷史事實，就得出歷史辯證法，斷言階級鬥争是社會前進的動力，有道理嗎？有道理。嚴密嗎？不嚴密。我國幾千年的文明史，並不是用階級鬥争可以完全概括的。其間包含着大量非階級的鬥争，還有大量非鬥争的過程。不過有了階級鬥争觀點，在研究歷史的時候，就可以把需要研究的歷史事件放進階級鬥争的理論框架中去，用階級鬥争的觀點進行分析，以爲這樣就抓住了問題的實質。這種做法雖然不失爲一種抽象思維的方式，但與邏輯推理無關，與歷史的真實過程關係不大。

　　康德認爲，時間、空間、因果關係，以及引導我們對感覺進行先天綜合的邏輯規則先於經驗而存在，是人們與生俱來的。人之所以具有認識能力，就是因爲我們的頭腦中具有這些先驗的邏輯框架。可是，如果我們承認現代人登上歷史舞臺到現在，不過十多萬年，相信第一個應用邏輯規則進行思維的人是現代人。雖然三萬五千年前的舊石器時代晚期以來，人類文化發生了翻天覆地的變化，却没有出現過任何超自然的奇迹。上帝不可能爲現代人注入智慧，我們的祖先也不可能得到神仙的啓示。現代人之所以先進一點，聰明一點，是他們的腦容量大一些，結構復雜一些，尤其是可以從前輩那裏得到經過若干世代積累和不斷累積起來的的知識，因而想象力豐富一些的緣故。我們用以概括經驗的邏輯知識，不可能通過遺傳的方式獲得，只能與發展認識能力的其他過程一道創造出來。

　　我國很早就開始了對邏輯學的研究。春秋末期名家創始人鄧析，善持“兩可之説”，提出“按實定名”，“循名責實”的主張，創立了“刑名之辯”。他在指導别人訴訟的時候，要求訴訟雙方爲自己的勝訴提供充足理由。名家另一重要代表人物公孫龍在“白馬非馬”的論辯中已經涉及到内涵、外延等概念，論述十分嚴密。可惜他們的原著都没有留下來，其思想成果只是散亂地記録在後人的著述中。

　　在我國先秦諸子的學術中，對邏輯研究貢獻最大的要算墨家。《墨經》是墨家學派的集體創作，其中記録了墨子在邏輯和認識論方面的大量研究成果。墨子認爲正確知識有三個重要來源，稱爲“親知”、“聞知”和“辯知”，即親身經驗、他人傳授和通過推理途徑獲得。在名學研究方面，墨子采用了“達名”、“類名”與“私名”的劃分方式，初步確定了對象的種屬層次關係。同時他還按照條件的不同，對推理進行分類概括。《墨經》中所説的“小故”是“有之不必然，無之必不然”，屬於非充分必要條件；“大故”爲“有之必然”，“非彼必不有”，屬於充分必要條件。雖然墨子對推理缺乏全面系統的研究，但是他們研究推理邏輯的切入點是相當準確的。

　　總體説來，我國古代學者缺乏對於推理邏輯的深入研究，得到充分發展的主要是概念邏輯。西方世界和我國擁有不同的學術傳統，公元前三百多年前，亞裏士多德的邏輯學已經達到很高的水平。他提出了四種實然命題，以字母代替命題中的主詞和謂詞。同時假定主詞、謂詞以及它們的矛盾概念均爲非空，從而建立了對當關係、换質换位法則和三段論。亞裏士多德全面研究了推理的性質。他發現，每一門科學都有一些必須依據但自身無法證明的原則，即該學科的優先原則，也就是我們所説的原始定義與公理，開始涉及科學理論的基礎結構。三段論是亞裏士多德邏輯學的核心，也是對希臘哲學的重要貢獻。

　　在亞裏士多德研究的基礎上，麥加拉-斯多阿學派的研究涉及到模態邏輯，揭示了正、否、逆、逆否四種命題之間的關係。巴格達邏輯家法拉比在注釋亞裏士多德著作時，發展了他的假言推理和選言推理的理論。

　　進入中世紀以後，唯名論和唯實論之争推動西方邏輯學的發展。十七世紀中期以後，邏輯學得到了長足的進展。萊布尼兹首先創立使用符號系統簡化復雜概念的方法來表示邏輯運演過程，開創了數理邏輯發展的新階段。十九世紀七十年代，康托爾找到了比較無窮集合大小的一般方法，證明瞭自然數集是無窮集合中的最小者。雖然他没有真正完成連續統假設的論证，可是他關於實無窮的理論，對數理邏輯的發展起到了重要的推動作用。

　　二十世紀初，希爾伯在他的《幾何基礎》中揭示了歐幾裏德幾何的公理化形式系統，爲現代科學理論提供了重要範式。與此同時，羅素和懷特海在他們共同編著的《數學原理》中，雖然没能爲數學建立起嚴密的邏輯基礎。可是他們在這部偉大的著作中，搆造的命題演算系統和高階邏輯，以及爲了防止悖論而提出的類型論，爲邏輯學的進一步發展奠定了堅實的基礎。1907年，布勞威爾指出數學的基礎不可能從邏輯學推導出來，每一個命題的真假與所采用的邏輯系統有關。在一個邏輯系統中，有些命題既不能證明也不能推翻。布勞威爾由此看出排中律不是一條普遍有效的邏輯規律。去掉排中律以後的邏輯系統並不會失去嚴密性，只是能够通過推理確定的命題會有所减少。

　　二十世紀三十年代，哥德爾連續發表重要論文《邏輯謂詞演算公理的完全性》和《PM及有關系統中的形式不可判定性命題》。在後一篇論文中，他闡明瞭任何邏輯系統的協調性得不到最終證明的重要事實，這相當於宣佈數理邏輯永遠不可能圓滿，邏輯的發展没有止境。二十世紀五十年代後，邏輯學向着多元邏輯、模態邏輯、認知邏輯等非經典邏輯方向發展。

　　希臘哲學家柏拉圖認爲，邏輯知識和天文學，幾何學一樣，是來自理念世界的學問，是絶對正確的，永遠不會改變。可是，到了十五六世紀，古代天文學發生了危機，十九世紀初出現了非歐幾裏德幾何，把天文學和幾何知識看成絶對真理的觀念受到挑戰。直到十九世紀中期，康德仍然斷言牛頓所闡明的力學原理是永恒的真理，放諸四海而皆準。可是，康德死後不到五十年，相對論誕生了，爲絶對時空觀念敲響了喪鐘。今天，如果有人贊美上帝賜予我們理性的邏輯，我們就有理由説，人們從上帝那兒獲得的真理並不完美。要不是上帝欺騙我們，就是上帝並非萬能，他的想象力比哥德爾差勁。如果有人説時間和空間的觀念是與生俱來的先念模式，我們就可以説，這種模式並不全面，至少不能正確反映高速運動系統和宇宙在大尺度中的情形。那麽，爲什麽它們不能反映高速系統和宇宙大尺度上的情形呢？因爲我們以及我們的前輩都没有在這樣的環境下生活過，無論在我們的文化傳統還是可能的“集體潜意識”中都没有這個東西。可見，歐幾裏德幾何和牛頓時空觀來自於人們的生活體驗，而非歐幾裏德幾何是在歐幾裏德幾何基礎上的大膽猜想。由於時代的局限，牛頓對時空性質的猜想不如愛因斯坦準確，歐幾裏德不如羅巴切夫和黎曼大膽。所有知識都來自猜想後的驗证，只是存在着高明的猜想和遜色的猜想，得到驗证的猜想與没有得到驗证的猜想的差别。認爲理性認識比感性認識更真實可靠並没有充足的理由，只是因爲她往往以全稱命題的形式出現，實用的範圍更廣泛，我們才需要她。

　　有無歸納邏輯的問題一直存在争議。培根正確地指出，演繹不能創造新知，自然規律只能從經驗中概括得來。他初步概括出從部分對象的性質推知整體性質的一般方法。可是，培根的歸納法却並非確定無誤的推理形式，經過人們的不懈努力至今仍然没有得到嚴格意義上的歸納邏輯。

　　在數學上有一種叫做數學歸納法的推理方法，應用這種方法，的確可以將適合於個别情况的命題，推廣到無窮集合上去。和一般演繹邏輯一樣，數學歸納法也是一種必真的推理。既然數學歸納法成立，爲什麽我們仍然否認存在歸納邏輯的説法呢？應該注意到，數學歸納法的根據是皮亞諾公理。這個公理所涉及的對象雖屬無窮，却只針對與自然數集有關的命題才實用。而自然數集合是所有無窮集合中的最小者，它與連續統之間不能建立一一對應關係。這就是説，數學歸納法無法在一般無窮集合上應用。

　　不過，這還不是最重要的，更重要的是在皮亞諾公理的兩條約定中，有一條是：“如果n=k屬於自然數，那麽n=k+1也屬於自然數。”由於k的任意性，這個約定實際上是一個涉及到無限對象的命題。因此，數學歸納法並不是真正意義上的歸納邏輯，而是在從一個涉及無窮對象的命題推導出另一個涉及無窮對象的命題的演繹方法。

　　否認歸納方法的邏輯意義，並不能貶低歸納思想的重要性。歸納的思維形式的確很重要。在知識創新過程中，首先需要的不是證明某個結論的正確性，而是提出需要證明的命題。以部分事實爲依據，通過歸納猜想提出全體對象可能滿足的性質，是一種非邏輯的過程。不過，没有歸納思維，就無法創造出命題，證明也無從下手。

　　哥德爾不可判定性定理的證明，相當於宣佈了任何一個邏輯系統的一致性都不可能得到最後確認；布勞威爾邏輯體系的建立，説明傳統邏輯並非無懈可擊；數學歸納法並非真正的歸納邏輯。一系列事實表明邏輯並非固定不變，她來自於人的創造，目前還處於發展中，未來的發展没有止境。既然邏輯學有自己發生和發展的歷史，那麽，邏輯學的全部命題，就不應該是亘古不變的，不可能離開人的頭腦而獨立存在。

　　和不能貶低歸納思維的重要性一樣，我們也没有理由貶低邏輯思維的積極意義，不能忽視邏輯推理給予我們的明確啓示。愛因斯坦發揮其非凡想象力，描繪出了在宇宙大尺度上，從來没有人看見過的空間模型。可是，在建立宇宙方程的時候，由於擔心宇宙膨脹的理論推導會和聖經中的“創世説”相吻合，因而不尊重邏輯推理的結果，將正處於膨脹中的宇宙，改述爲一個有限無界的静態模型，丢失了從理論研究中發現宇宙膨脹，創立宇宙爆炸學説的機會。英國物理學家狄拉克充分相信理論計算的結果，依據方程的非常解，預言正電子的存在。精彩的歷史，從正反兩方面顯示出邏輯思維的力量。

　　既然我們有了邏輯的方法，而演繹邏輯又是必真的邏輯，那麽應用這種必真的邏輯是不是就可以得到表征客觀世界的絶對真理了呢？問題可不那麽簡單。因爲認識的可靠性不僅需要推理方法可靠性，還與推理的邏輯前提是否正確有關。三段論式的可靠性無庸置疑，但是，推理所應用的大前提往往是一個涉及到無窮對象的全稱命題，即使不是公理，也是由公理推導出來的定理。萬一它的可靠性得不到滿足，應用三段論推導的結果也可能發生錯誤。由於我們已經否認了歸納邏輯的存在，任何全稱命題的可靠性無法得到確鑿的證明。所以，有了邏輯方法，我們依然不能够保证絶對真理的存在，結論正確與推理過程是否符合邏輯不是一回事。

　　我們必須看到，純粹的邏輯推理不能創造新知識，没有非邏輯的想象，科學就不能發展。然而，認爲邏輯思維會阻礙想象力發展的説法也不符合事實。科學發展的歷史表明，並不是邏輯思維壓抑了想象能力的提高，而是想象能力的發展需要邏輯方法的支持。在通過解方程獲得實際問題的數學解的時候，我們需要進行移項、合並同類項、方程兩邊同時除以未知數係數等運算，每步運算都必須按照數理邏輯的法則--也就是方程運算的一般規則--進行。對於稍微復雜一點的問題，放棄這些法則，通過想象尋求問題的答案，是相當困難的。如果没有從二維到三維空間轉化的邏輯分析，高維空間是人的經驗無法涉及的，其性質更無法想象。在創新知識的過程中，努力發揮邏輯推理輔助下的想象力，才能有所突破，有所收穫。不通過想象創造出新知識體系是不可想象的；拒絶邏輯推理，單憑想象建立起知識體系也是不符合邏輯的。

　　爲了説明邏輯的本質和由來，我們再來回顧一下幾何學的發展歷程。

　　兩千三百多年前，希臘數學家歐幾裏德寫成《幾何原本》。該書從五個顯而易見的公理出發，應用嚴密邏輯方法，推導出四百六十五個真命題，形成一整套幾何理論。應用《幾何原本》中的結論處理大到行星運動，小到微觀物體的實際問題，没有發生任何錯誤。所以歷代思想大師無不對其推崇備致。十九世紀以前，除了休謨這個不信鬼，不信神，“天下第一懷疑論者”外，所有哲學家一致恭維歐幾裏德幾何是對宇宙性質的全真刻畫，是絶對真理的化身。康德把歐幾裏德幾何説成是絶對可靠的先驗原則之一。以强調運動發展著稱的黑格爾，認爲歐幾裏德幾何是宇宙絶對精神的最高體現，已經達到了人類對宇宙空間性質認識的頂峰，不存在任何發展的餘地。

　　可是，在數學界内部，對歐幾裏德幾何的看法却不那麽統一，一直都在爲她的第五公理是否恰當争論不休。在《幾何原本》中，這個公理的叙述如下：同一個平面内，一條直綫與另外兩條直綫相交，若在某一側的兩個内角之和小於兩直角，則這兩條直綫延長後，必定在同一側相交。和第五公理不一樣，前四條公理雖然也没有經過嚴密論证，却非常明顯，似乎是不证自明的。而第五公理却不具有那樣的顯明性，從表述方式上來看，也顯得有些轉彎抹角，拉拉扯扯。是否可以用更加簡單的命題取代這個論斷，或者通過其他公理予以證明呢？歷來很多數學家和數學愛好者，將其畢生精力投入第五公理的替代或者證明之中。可是，他們統統都無功而返。其中稍有價值的成果是普列菲爾提出的替代公理：過平面上直綫外一點只能引一條直綫與已知直綫不相交。其實這只是第五公設的等價命題，叙述方式上簡捷一點，没有實質上的改進。

　　十八世紀末，人們終於感悟出一個道理：第五公理不可能得到實質性的簡化，也不可能從其他幾條公理中推導出來。但是，取消了第五公理，能够推導出來的結論將减少百分之七十以上。既然如此，又能不能改用一個與第五公理相衝突的假設，推演出與歐幾裏德幾何不相同的幾何學理論呢？這個想法首先降落在一個名叫施韋卡特的法學家頭腦中。1804年，施韋卡特率先發表文章，指出平行綫公理是無法通過邏輯方法給予證明的，如果假設三角形内角和小於180度，用以取代第五公理，就有可以建立一種新的幾何，他把這種幾何叫做“星空幾何”。不過，施韋卡特並没有把自己的想法付諸實施，因而對科學的發展並没有發揮多大作用。

　　從1815年開始，喀山大學的羅巴切夫斯基開始研究非歐幾何。他大膽地提出過直綫外一點至少能够引兩條不同的直綫與已知直綫平行的命題，用以配合歐幾裏德幾何其餘四個公理，推演出一套幾何體系。羅巴切夫斯基於1829年發表了題爲《幾何學原理》的著作，向世界公佈了自己的研究成果。通過嚴密論证，可以看出羅巴切夫斯基所得出的命題並不和人們的常識相悖，而整個邏輯體系的嚴密程度也不亞於歐幾裏德幾何。

　　既然羅巴切夫斯基能够另選假設，代替歐幾裏德第五公理而不會與其餘四條公理發生矛盾，這就説明瞭第五公理的確是獨立於其他幾條公理的命題，這樣的命題顯然不能從其他幾條命題中推導出來。就是説，非歐幾裏德幾何的創立不但没有推翻歐幾裏德幾何，反而證明瞭第五公設的獨立性和歐幾裏德幾何理論體系的協調性。同時也説明瞭歐幾裏德當時把第五公理作爲整個命題系統的邏輯出發點，是完全正確的，也是高明的。

　　非歐幾何的出現，没有推翻歐幾裏德幾何，却推翻了人們頭腦中存在固有邏輯的判斷，也推翻了絶對真理的觀念。真理是什麽？是人們對客觀規律的正確描述。客觀世界是否存在規律？能不能找到描述客觀世界規律的絶對真理？人的認識究竟是對主觀經驗的刻畫，還是對客觀真理的破譯？這些亘古不變的命題，直到非歐幾裏德幾何出現之後才開始明朗起來，逐步獲得了明確的，令人信服的答案。

　　關於絶對真理的信仰最早源於理念與原子之争。無論是柏拉圖、德謨克利特還是亞裏士多德，都承認客觀真理的存在。只不過，柏拉圖的真理存在於理念世界中，人類發現和認識真理的根本途徑是理性思維。德謨克利特和亞裏士多德則認爲真理存在於原子的運動過程中，人首先通過感覺，形成外部世界的表象，然後再應用理性方法揭示真理。不過，無論哪個學派，不論她是唯物主義的還是唯心主義的，都肯定絶對真理的存在性，同時强調自己哲學的唯一正確性，這已經成爲所有哲學家的通病。

　　非歐幾裏德幾何的出現，徹底粉碎了所有柏拉圖主義者——包括唯物主義和唯心主義宿命論——的真理夢。雖然，歐幾裏德幾何學不會因爲非歐幾裏德幾何的出現而退出歷史舞臺。但是，如果把歐幾裏德幾何説成絶對真理，與之不相協調的非歐幾裏德幾何又應該置身何處？看來科學理論和幾何學中的第五公理一樣，存在選擇的餘地。就是説，所有的科學理論都只能看成人爲選擇的命題系統。自然界是否存在規律是一回事，人們對客觀世界的描述是另一回事，知識的可靠性的確值得懷疑。任何知識的邏輯體系與對公理的選擇有關。如果一定要在刻畫知識體系的時候用到“真理”的概念，我們不得不接受真理與客觀世界的運行規則可能有差距，因而應該盡量避免使用“絶對真理”這樣的字眼。而且，我們還得承認“真理”不止一個的事實。就是説，對於往古來今的人類經驗而言，可以杜撰兩個以上互相衝突，而又各自協調的理論體系，對自然界予以説明。

　　歐幾裏德幾何第五公理所引起的麻煩還不止這一點。大約在羅巴切夫斯基發表第一個非歐幾裏德幾何學之後二、三十年，德國數學家黎曼大膽假設過直綫外任何一點，都不存在與已知直綫平行的直綫，從而推導出又一套非歐幾裏德幾何。最初，人們認爲羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何與現實世界有一定距離，所以有人稱之爲“星空幾何”，也叫“抽象幾何”。

　　到了二十世紀初，愛因斯坦創立廣義相對論，他的同學格羅兹曼在幫助他解决計算問題的時候發現，愛因斯坦描述的宇宙模型，是具有黎曼幾何性質的空間。就是説，宇宙在大尺度上是符合黎曼幾何性質的，而與歐幾裏德幾何不一致。當然，在一般尺度上，按照黎曼幾何和歐幾裏德幾何得出的計算結果，差别很小，遠遠低於可檢驗的程度。也就是説，她們是同樣適用的。只不過應用歐幾裏德的理論體系，在計算上簡單一些。與此類似，在低速運動的世界裏，用牛頓力學計算的結果和相對論的計算結果幾乎没有差别，而在高速世界裏，牛頓力學就無能爲力了。由此看來，至少對於低速世界和一般尺度的空間而言，存在多種科學理論可給予恰當的描述。

　　很顯然，和黎曼創立非歐幾裏德幾何時的情况一樣，愛因斯坦在創立廣義相對論的時候，並没有獲得宇宙大尺度上黎曼性質的空間的直接經驗。按照愛因斯坦自己的説法，廣義相對論的創立出於獨自的想象，他覺得宇宙不應該像牛頓所説的那樣，而應該像他所想象的那樣，没有别的根據，也不需要别的根據。廣義相對論和黎曼幾何都源於科學家的“想當然”。但是，這並不能推翻知識來源於感覺的判斷。因爲在建立黎曼幾何之前已經有了歐幾裏德幾何，其中直綫的觀念來源於感覺，兩條直綫相交與不相交的區别來源於感覺。創新科學知識的基本方法是源於感覺基礎上的猜想。

　　假設只是因爲黎曼幾何找到了自己的實用場合，我們才稱之爲科學理論的話，直到現在羅巴切夫斯基幾何都没有實用的空間，則不能將其列入科學的範圍，這顯然是不恰當的。數學研究的對象，是現實世界中的空間與數量關係，也是屬於我們的思維領域中可能的空間與數量關係。也許多維空間幾何永遠没有現實空間和它對應，只要這種幾何學的公理體系是嚴密的，就是科學可以接受的。二十世紀初，法國數學家彭加勒利用羅巴切夫斯基幾何作爲工具求解一類非綫性偏微分方程獲得成功，顯示了羅巴切夫斯基幾何的科學價值。可見，不應該因爲科學理論暫時缺乏實用性而放棄。

　　所以，對待知識的創造我們必須擁有足够的寬容度。把現有科學知識看成不變的教條，以特定知識體系爲標準，衡量其他知識系統的價值是錯誤的。科學理論既然出自人的猜想，科學理論就不一定擁有自己適用的場合。只要理論體系内部是相互協調的，就可以接受。創立多個相互衝突的理論，同時對人類有史以來的總經驗，給予充分解釋的情况也是常有的。由於知識的可靠性得不到最後的證實，任何理論都可能被更加全面、更加深刻的理論所取代。科學理論除了有一部分可以直接用來闡述客觀世界的面貌而外，另一部分只能期待出現自己的適用範圍。總之，在任何情况下，都不應該把任何一種科學理論，看成不變的，唯一正確的，放諸四海而皆準的真理。